差别

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--- atk:si_100_表面的复数能带 [2018/12/26 23:34] – [复数能带的计算] xie.congwei
+++ atk:si_100_表面的复数能带 [2019/09/01 10:00] (当前版本) – [背景] dong.dong
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-本教程中，您将计算 Si 晶体 (100) 面上的复数能带。
+本教程中，您将计算 Si 晶体 (100) 面上的复数能带。您将：
-特别地，您将：
   - 创建 Si(100) 表面；
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 ===== 背景 =====
-对于周期性固体，薛定谔方程 $H \psi_{n{\bf k}} = E_{n{\bf k}} S \psi_{n{\bf k}}$ （$S$ 为重叠矩阵）中的 $\psi_{n{\bf k}}$ 可以写为 $\psi_{n{\bf k}}({\bf r}) = e^{-i {\bf k}\cdot {\bf r}} U_{n{\bf k}}({\bf r})$，这里的 $U_{n{\bf k}}({\bf r})$ 是与晶体自身周期性相同的周期函数。在一般的能带结构计算中，波矢量 ${\bf k}$ 为实数，通过求解上面的薛定谔方程得到不同 ${\bf k}$ （通常位于第一布里渊区的对称线上） 的固定值，定义一个特征向量，由此确定本征能量 $E_{n{\bf k}}$ （即能带结构）。
+对于周期性固体，薛定谔方程 $H \psi_{n{\bf k}} = E_{n{\bf k}} S \psi_{n{\bf k}}$ （$S$ 为重叠矩阵）中的 $\psi_{n{\bf k}}$ 可以写为 $\psi_{n{\bf k}}({\bf r}) = e^{-i {\bf k}\cdot {\bf r}} U_{n{\bf k}}({\bf r})$，这里的 $U_{n{\bf k}}({\bf r})$ 是与晶体自身周期性相同的周期函数。在一般的能带结构计算中，波矢量 ${\bf k}$ 为实数，通过求解上面的薛定谔方程得到不同 ${\bf k}$ （通常位于第一布里渊区的高对称线上） 值上的本征矢量，由此确定本征能量 $E_{n{\bf k}}$ （即能带结构）。
+计算复数能带的方法可参考 <color #00a2e8>[CS82]</color>。在固定能量 $E$ 的情况下，要求解的是满足薛定谔方程的 ${\bf k}$ 值。这种解法可以得到实数和复数的 ${\bf k}$，实数 ${\bf k}$ 的解是通常的 Bloch 态，而带有虚部的解是在一个方向上呈指数递减，相反方向上递增。这样的解通常不能稳定存在于块体材料中，因此在能带结构计算中通常被忽略。然而，它们可以存在于表面或界面处，并且可以提供关于电子态如何在材料中衰减的信息，例如电子态如何通过一个薄的隧道势垒。
-计算复数能带的另一个方法可参考 <color #00a2e8>[CS82]</color>。代替地，能量 $E$ 是固定的，用来解薛定谔方程的 ${\bf k}$ 是需要求解的值。这些解法可以得到实数和复数的 ${\bf k}$，实数 ${\bf k}$ 的解通常是 Bloch 态，而虚部的解是在一个方向上呈指数递减，另一个方向上递增。这样的解不能存在于块体材料中，因此在能带结构计算中通常被忽略。然而，它们可以存在于表面或界面处，并且可以提供关于电子态如何在材料中衰变的信息，例如通过一个薄的隧道屏障。
+更多关于复数能带结构的概念和在导电结中的应用，请参考：
+  * Jensen, A. et al. Complex band structure and electronic transmission eigenchannels. J. Chem. Phys. 147, 224104 (2017)。
+  * Yia-Chung Chang and J. N. Schulman. Complex band structures of crystalline solids: An eigenvalue method. Phys. Rev. B, 25:3975–3986, Mar 1982. doi:10.1103/PhysRevB.25.3975.
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 本教程中的计算将使用 QuantumATK 的半经验模型。所有参数的完整说明和有关其物理相关性在很多情况下的详细讨论，可参阅 [[https://docs.quantumwise.com/manual/manual.html|ATK Reference Manual]]。特别是，参考手册条目中与复数能带计算相关的：[[https://www.synopsys.com/silicon/quantumatk.html|ComplexBandstructure]]。
+</WRAP>
+<WRAP center info 100%>
+=== 提示 ===
+**本教程使用特定版本的QuantumATK创建，因此涉及的截图和脚本参数可能与您实际使用的版本略有区别，请在学习时务必注意。**
+  * 不同版本的QuantumATK的py脚本可能不兼容；
+  * 较新的版本输出的数据文件默认为hdf5；
+  * 老版本的数据文件为nc文件，可以被新版本读取。
 </WRAP>
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 ==== 分析结果 ====
+文件 ''si_100_cbs.nc'' 应该已经出现在了 Quantum 的 **LabFloor**。它包含了保存的 Hückel 计算和 ComplexBandstructure 分析数据块。
+^ {{ :atk:labfloor_complexbandstructure-20181226.png?60 }}  ^ **ComplexBandstructure**  ^
+选择那个分析数据块，选择右边插件栏的 **Show 2D Plot** 工具，显示复数能带图的窗口弹出。放大一些可以过滤掉那些复数部分 $\kappa_C$ 的较大值，因为这些都不是真正相关的。
+{{ :atk:cbs_4-20181226.png?550 |}}
+图51 Si(100) 的能带结构。图右侧显示的是实数能带——注意 ~1.2 eV 的间接带隙。图左侧显示的是复数能带随虚部 $\kappa_C$ 变化。具有一个小虚部的能带是最重要的，因为在您试图沿（100）方向上用电子穿过硅薄片时，它们会衰减较少。
+<WRAP center important 100%>
+=== 注意 ===
+在上图中，$\kappa_C$ 的解可从倒易的笛卡尔坐标中获取，以便更容易地比较不同结构。另一方面，对于能带结构的实部，$\kappa_C$ 的解由 $L$ 归一化后得到，分层垂直于切割平面。在 fcc 晶体沿（100）面切割的案例中，分层为 $L=a/2$，$a$ 为晶格常数。分层可用 //layerSeparation()// 方法从 ComplexBandstructure 数据块中提取获得，具体可参见 [[https://www.synopsys.com/silicon/quantumatk.html|ComplexBandstructure]]。
+</WRAP>
 ==== 3D 和 2D 的可视化 ====
+<WRAP center tip>
+提示：在较新的版本中，复数能带可以直接在分析工具中用Complex Band Structure Analyzer可视化，无需再使用脚本。此处保留脚本供大家学习如何使用Python语言进行复杂的作图。
+</WRAP>
+在能带结构的复数部分中，解也包含了实数部分。因此解可以在三维图中可视化，$(x,y,z)=(k_C, \kappa_C, E)$。使用以下脚本可实现此目的。打开 QuantumATK 的 **Editor** {{:atk:editor.png?direct&25|}}，复制粘贴脚本并保存为 ''3D-plot.py''。确保缩进正确。或者，您也可以在此处下载：[[https://docs.quantumwise.com/_downloads/3D_plot.py|↓ 3D-plot.py]]。
+<code python>
+   from QuantumATK import *
+   from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
+   import matplotlib.pyplot as plt
+   import math
+
+   # Read the complex bandstructure object from the NC file
+   cbs = nlread('si_100_cbs.nc', ComplexBandstructure)[-1]
+   energies = cbs.energies().inUnitsOf(eV)
+   k_real, k_complex = cbs.evaluate()
+   L = cbs.layerSeparation()
+
+   fig = plt.figure()
+   ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
+
+   # First plot the real bands
+   kvr = numpy.array([])
+   e = numpy.array([])
+
+   # Loop over energies, and pick those where we have solutions
+   for (j, energy) in enumerate(energies):
+       k = k_real[j]*L/math.pi
+       if len(k)>0:
+           e = numpy.append(e,[energy,]*len(k))
+           kvr = numpy.append(kvr,k)
+
+   # Plot the bands with red
+   ax.scatter([0.0,]*len(kvr), kvr, e, c='r', marker='o', linewidths=0, s=10)
+
+   # Next plot the complex bands
+   kvr = []
+   kvi = []
+   e = []
+
+   # Again loop over energies and pick solutions
+   for (j, energy) in enumerate(energies):
+       if len(k_complex[j])>0:
+           for x in numpy.array(k_complex[j]*L/math.pi):
+               kr = numpy.abs(x.real)
+               ki = -numpy.abs(x.imag)
+               # Discard rapidly decaying modes which clutter the plot
+               if ki>-0.3:
+                   e += [energy]
+                   kvr += [kr]
+                   kvi += [ki]
+
+   # Plot the complex bands with blue
+   ax.scatter(kvi, kvr, e, c='b', marker='o', linewidths=0, s=10)
+
+   # Put on labels
+   ax.set_xlabel('$\kappa$ (1/Ang)')
+   ax.set_ylabel('$kL/\pi$')
+   ax.set_zlabel('Energy / eV')
+
+   plt.show()
+</code>
+使用作业管理器 **Job Manager** {{:atk:job_manager.png?direct&25|}} 或从终端执行脚本。输出图将类似于下图，但您的点将更加分散，因为下图是由 Hückel 计算产生的，包含 10001 个能量点而不是本例的 501 个。
+{{ :atk:3d_plot-20181226.png?600 |}}
+图 52 Si(100) 面复数能带的 3D 可视化图，实数能带由红色圆点表示，复数部分由蓝色圆点表示。请注意复数能带是怎样与实数能带连接的。
+另一种将复数能带结构实数部分可视化的方式就是利用颜色。脚本 [[https://docs.quantumwise.com/_downloads/2D_plot.py|↓ 2D_plot.py]] 可以实现（您可以看到之后的脚本）。它的最后可能会有些复杂，但那部分仅用于放置颜色条，可以省略。
+<code python>
+   from QuantumATK import *
+   import matplotlib.pyplot as plt
+   import math
+
+   # Read the complex bandstructure object from the NC file
+   cbs = nlread('si_100_cbs.nc', ComplexBandstructure)[-1]
+   energies = cbs.energies().inUnitsOf(eV)
+   k_real, k_complex = cbs.evaluate()
+
+   ax = plt.axes()
+   cmap="Spectral"
+
+   # First plot the real bands
+   kvr = numpy.array([])
+   e = numpy.array([])
+   for (j, energy) in enumerate(energies):
+       k = k_real[j]*cbs.layerSeparation()/math.pi
+       if len(k)>0:
+           e = numpy.append(e,[energy,]*len(k))
+           kvr = numpy.append(kvr,k)
+
+   # Plot
+   ax.scatter(kvr, e,
+              c=numpy.abs(kvr),
+              cmap=cmap, marker='o', linewidths=0, s=10)
+
+   # Next plot the complex bands
+   kvr = numpy.array([])
+   kvi = numpy.array([])
+   e = numpy.array([])
+
+   for (j, energy) in enumerate(energies):
+       if len(k_complex[j])>0:
+           kr = [numpy.abs(x.real) for x in k_complex[j]]
+           ki = [numpy.abs(x.imag) for x in k_complex[j]]
+           e = numpy.append(e,[energy,]*len(kr))
+           kvr = numpy.append(kvr,kr)
+           kvi = numpy.append(kvi,ki)
+
+   # Plot with color depending on the imaginary part (corresponding to real k-points)
+   sc = ax.scatter(-kvi, e,
+                   c=kvr,
+                   cmap=cmap, marker='o', linewidths=0, s=10)
+
+   # Put on labels and decorations
+   ax.axvline(0,color='b')
+   ax.grid(True, which='major')
+   ax.set_xlim(-1, 1)
+   ax.set_ylim(-15, 10)
+   ax.annotate('$\kappa$ (1/Ang)', xy=(0.25,-0.07), xycoords="axes fraction", ha="center")
+   ax.annotate('$kL / \pi$', xy=(0.75,-0.07), xycoords="axes fraction", ha="center")
+   ax.set_ylabel('Energy / eV')
+
+   # Add a colorbar
+   fig = plt.gcf()
+   x1, x2, y1, y2 = 0., 1, ax.get_ylim()[0], ax.get_ylim()[0]+1
+   trans = ax.transData + fig.transFigure.inverted()
+   ax_x1, ax_y1 = trans.transform_point([x1, y1])
+   ax_x2, ax_y2 = trans.transform_point([x2, y2])
+   ax_dx, ax_dy = ax_x2 - ax_x1, ax_y2 - ax_y1
+   cmap_axes = plt.axes([ax_x1, ax_y1, ax_dx, ax_dy])
+   a = numpy.outer(numpy.arange(0,1,0.01),numpy.ones(10)).transpose()
+   cmap_plt = plt.imshow(a,aspect='auto',cmap=plt.get_cmap(cmap),origin=(0,0))
+   ax = plt.gca()
+   ax.set_xticks([])
+   ax.set_yticks([])
+   ax.set_xticklabels([])
+   ax.set_yticklabels([])
+
+   plt.show()
+</code>
+{{ :atk:2d_plot-20181226.png?600 |}}
+图 53 复数能带结构的 2D 可视化图。注意 k 值的颜色编码如何应用于能带结构的实数和复数部分，这使得能更容易分辨出复数能带附着于实数能带的位置。
+复数能带的“森林”中有一个相当大的 $\kappa$ 值，在紧束缚模拟中并不常见。然而，对于 DFT 和 Hückel 理论中，基组更大，因此与含有各种价带的未占用能级连接的复数能带也就更多。
+<WRAP center tip 100%>
+=== 提示 ===
+您可能注意到了可视化中存在着“间隙”。原因在于，与正常的能带图不同，不是将数据绘制成线而是圆点。在标准的能带图中，您可以用一些置信水平定义“能带”，在对称点（只有在能带交叉处会产生一些小问题）间连续分布。在当前案例中，首先解的数量在每个能量处（尤其是复数一侧）不同，且依赖于能量取样的密度，您可能不会找到一条特别的能带接近于某些点，这些点位于能带非常平缓（重的有效质量）的位置。通过增加能量点的数量可以在一定程度上缓解这种情况。
+</WRAP>
 ==== 参考 ====
+  * [CS82]	Yia-Chung Chang and J. N. Schulman. Complex band structures of crystalline solids: An eigenvalue method. //Phys. Rev. B//, 25:3975–3986, Mar 1982. [[http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.25.3975|doi:10.1103/PhysRevB.25.3975]].
+  * Jensen, A. et al. Complex band structure and electronic transmission eigenchannels. J. Chem. Phys. 147, 224104 (2017).
+  * 英文原文：[[https://docs.quantumwise.com/tutorials/complex_bandstructure/complex_bandstructure.html|https://docs.quantumwise.com/tutorials/complex_bandstructure/complex_bandstructure.html]]

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