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atk:硅材料中载流子有效质量

硅材料中载流子有效质量

本教程将介绍硅单晶中的电子和空穴载流子有效质量的计算方法。

简介

众所周知,DFT 方法,或者更准确地讲,LDA 和 GGA 交换关联泛函,并不适用于半导体材料带隙的计算。但他们通常能得到非常准确的能带弯曲结构,因此,我们可以由此通过拟合导带/价带的极小值/极大值点的曲率,计算电子、空穴的有效质量。

有效质量是一个建立在几个假设和物理定义基础上的参数,因此,正确理解参数背后的物理涵义就变得更加尤为重要,而不能仅仅将其作为一个黑箱。不同材料中的假设可能也并不相同。

提示

本教程使用特定版本的QuantumATK创建,因此涉及的截图和脚本参数可能与您实际使用的版本略有区别,请在学习时务必注意。

背景知识

Si 有 6 个等价的导带最小值(导带谷),沿 (101) 方向分布 (称为 $\Delta$ 方向)并在倒空间等价排列。能量最小值点位于$(x,0,x)$,$x=0.425$ 或距离第一布里渊区边界 $X=(1/2,0,1/2)$ 点 85% 的位置。在这一点上,能量的等能面呈椭球形,因此,在不同方向上具有不同的有效质量值,用椭球纵向(沿 $\Delta$ 方向)和横向(垂直于 $\Delta$ 方向)有效质量表示。

$(1/2,0,1/2)$表示的是波矢$K=(\mathbf{G}_A+\mathbf{G}_C)/2$, $\mathbf{G}_A,\mathbf{G}_B,\mathbf{G}_C$ 为倒空间的三个原胞基矢。从在笛卡尔坐标系下(仍在倒空间)该点的表示,可以看出, $\Delta$ 沿$K_Y$方向。很明显, $K_X$和$K_Z$ 分别平行于$\mathbf{G}_B$ 和 $\mathbf{G}_C$,并垂直于 $\mathbf{K}_{Y}$。因此,横向方向沿 (011) 和 (110),纵向方向沿 (101),请参见下图 Si 布里渊区。

图38.Si布里渊区。在Builder中Bulk Tools >Brillouin Zone Viewer中可视化布里渊区。分数和笛卡尔坐标系中下的方向和高对称性点。

我们现在需要做的是:

  1. 在特殊点 $k_0$ 附近沿给定方向产生一系列 $k$ 点
  2. 计算导带底各个 $k$ 点上的能量本征值 $E(k)$
  3. 用数值方法(有限差分)求能带的二阶导数 $d = \partial^2 E(k)/\partial k^2|_{k=k_0}$;
  4. 计算有效质量 $m^* = \hbar^2/(2d)\,m_e$ , $m_e$ 为自由电子质量

按照上面的步骤,沿纵向(L)和横向(T),我们可以得到三个值,$m^{*}_{L}$,$m^{*}_{T1}$,$m^{*}_{T2}$ (事实上,在 Si 材料中 $m^{*}_{T1}$=$m^{*}_{T2}$=$m^{*}_{T}$),以及众所周知的电导有效质量和态密度有效质量的表达式:

$$\begin{split}m^*_C = \frac{3}{\frac{1}{m^*_L} + \frac{2}{m^*_T}}, m^*_{DOS} = 6^{2/3} [m^*_L(m^*_T)^2]^{1/3}\end{split}$$

因子 6 来源于等效的能谷数目。

计算设置

第一步,DFT自洽计算。

此步骤的具体操作细节请参见教程《计算晶体能带》。该文章采用了扩展Huckel方法,因此,需要替换为 ATK-DFT 计算器。需要注意的是,默认采用 LDA 交换相关函数,仅需设置合适的k点网格,即 15×15×15。

在保存并运行DFT计算前,您可在 Scripter 中直接设置有效质量计算分析功能。点击 “Analysis”-“EffectiveMass”,在 Calculator 后添加有效质量分析器。

双击 EffectiveMass 设置有效质量计算。这里,有多个选项可供设置,各参数说明请参见参考手册

为计算导带最小值处有效质量,输入如下参数:

  • 设置 k-point 为 “Other(Fractional)”,k点坐标为 $[0.425, 0, 0.425]$
  • 设置 Band below Fermi level 为 1 条能带(仅导带),Band above Fermi level 为 1 条能带。当然,也可以任意设置能带数目。
  • 之后将会看到列表以便确认。需要记住的是所选的所有能带仅为得到 $k=[0.425, 0, 0.425]$ 点处的有效质量。
  • 设置 Direction 为 Fractional,和 $a=1, b=0, c=1$, 对应于纵向方向。参考
  • 其他参数可使用默认参数。
  • 增加第二个 EffectiveMass 分析器,除方向为 $a=1, b=1, c=0$ 外,其他参数不变。

最后,设置输出文件名,如silicon_lda.nc,保存并运行计算脚本。计算任务约几秒即可完成。

分析结果

能带

在 LabFloor 中可以看到 Bandstructure 和 EffectiveMass 对象。我们首先查看能带,双击后,启动 Bandstructure Analyzer 工具画图。

从能带图中可以清晰的看到能带带隙被低估,但是能带的形状是基本正确的。带隙为间接带隙,并且导带的最小值确实是在 X 方向 85% 处。

有效质量1

在 LabFloor 中选择 EffectiveMass 对象中的一个,使用 Effective mass analyzer 查看结果:

Effective mass analyzer对话框将会被打开:

这里,同时显示了有效质量对应的能带指标和方向。从两个 EffectiveMass 对象中,可以得到:

  • 纵向有效质量,[1,0,1]方向,$m^*=0.90\,m_e$
  • 横向有效质量,[1,1,0]方向,$m^*=0.187\,m_e$

由此,我们可以计算态密度质量 $m^*_{DOS}=1.05$ 和 $m^*_C=0.26$,与文献的报导值,1.08 和 0.26,非常接近(参见:http://ecee.colorado.edu/~bart/book/effmass.htm)。因此 DFT 已经成功重复了 $\Delta$ 谷中电子有效质量的值。

有效质量2

在 Bandstructure analyzer 窗口右下角处有一个按钮,Effective mass 按钮。这是另一个计算有效质量的交互式处理工具。可以便捷的通过选取 k 点,直接从图中得到该点的有效质量:

  • 放大图中感兴趣的能带区域,左键单击能带上的点

  • 点击“Effective mass…”按钮打开有效质量工具对话框:

这里,所有相关参数,如能带指标,选择查看的k点坐标,将会自动设置。您可以变更和改善参数。

  • 点击 “Calculate”,计算有效质量
  • 查看 LabFloor 中存储的 EffectiveMass 对象,按照前面的步骤得到有效质量的值。

有效质量工具还包含一对参数:

  • Stencil order:可以设置参与计算能带数值微分的 k 点数目
  • Delta:控制与计算的k点距离。通常选择默认值,如果能带形状偏离抛物线形较大时,可适当减小此值。

进一步计算

您可以使用扩展 Huckel 方法进行相同计算。

如果已完成《Si能带结构》教案操作,您已有 NetCDF 文件。能带最小值不在 $x=0.425$,而是更接近 $x=0.445$。 计算结果非常接近,$m^*_L=1.00$ 和 $m^*_T=0.17$ 。

Si 的空穴质量

我们可以计算 Si 的一条轻空穴带有效质量(在$\Gamma$ 点 [0,0,0])$m^*_{LH}=-0.16$(能带指标为 1),和两条简并的重空穴带有效质量$m^*_{HH}=-0.25$ (能带指标分别为 2 和 3)。这些结果均是沿着笛卡尔轴计算的结果,也即计算电子时的沿 $\Gamma$ 到 $X$ 的 $\Delta$ 方向。如果,计算沿 $\Gamma$ 到 $L$ 的 $\Lambda$ 方向(方向设置为[1,1,1]),得到 $m^*_{HH}=-0.64$ 和 $m^*_{LH}=-0.09$。得到 Si 晶体空穴态的等能面出现非球形变形,特别是重空穴态[1][2]。

为得到更接近实验值的空穴态有效质量,还需考虑进自旋轨道耦合相互作用。

参考文献

atk/硅材料中载流子有效质量.txt · 最后更改: 2018/03/20 21:52 由 liu.jun

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