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Si(100) 表面的复数能带
本教程中，您将计算 Si 晶体 (100) 面上的复数能带。
特别地，您将：
- 创建 Si(100) 表面；
- 设置并运行计算；
- 绘制复数能带图（3D 和 2D）。
背景
对于周期性固体，薛定谔方程 $H \psi_{n{\bf k}} = E_{n{\bf k}} S \psi_{n{\bf k}}$ （$S$ 为重叠矩阵）中的 $\psi_{n{\bf k}}$ 可以写为 $\psi_{n{\bf k}}({\bf r}) = e^{-i {\bf k}\cdot {\bf r}} U_{n{\bf k}}({\bf r})$，这里的 $U_{n{\bf k}}({\bf r})$ 是与晶体自身周期性相同的周期函数。在一般的能带结构计算中，波矢量 ${\bf k}$ 为实数，通过求解上面的薛定谔方程得到不同 ${\bf k}$ （通常位于第一布里渊区的对称线上） 的固定值，定义一个特征向量，由此确定本征能量 $E_{n{\bf k}}$ （即能带结构）。
计算复数能带的另一个方法可参考 [CS82]。代替地，能量 $E$ 是固定的，用来解薛定谔方程的 ${\bf k}$ 是需要求解的值。这些解法可以得到实数和复数的 ${\bf k}$，实数 ${\bf k}$ 的解通常是 Bloch 态，而虚部的解是在一个方向上呈指数递减，另一个方向上递增。这样的解不能存在于块体材料中，因此在能带结构计算中通常被忽略。然而，它们可以存在于表面或界面处，并且可以提供关于电子态如何在材料中衰变的信息，例如通过一个薄的隧道屏障。
注意
您将主要使用图形用户界面 QuantumATK 来设置和分析结果。如果您是 QuantumATK 的新手，建议您阅读 Basic QuantumATK Tutorial。
本教程中的计算将使用 QuantumATK 的半经验模型。所有参数的完整说明和有关其物理相关性在很多情况下的详细讨论，可参阅 ATK Reference Manual。特别是，参考手册条目中与复数能带计算相关的：ComplexBandstructure。
Si(100) 表面
启动 QuantumATK，创建一个名为“ComplexBandstructure”的新项目。然后点击 Open，点击工具栏的按钮 
开启 Builder。
在 Builder 里，点击 Add 
From Database，搜索“Silicon（alpha）”结构。双击结果所在行或者点击右下角的 
按钮将结构添加到 Stash。
在面板中展开 Builders，打开 Surface（Cleave）工具，按照以下步骤设置 Si(100) 表面：
- 保持默认的密勒指数（100），点击 Next。
- 保持默认的晶格矢量，点击 Next。
- 为平面外的晶胞矢量选择 Periodic (bulk-like)。
- 设置表面的厚度为 1 层。
- 点击 Finish 将 Si(100) 表面结构添加到 Stash。
为缩短计算时间，避免区域折叠，我们通过以上设置和最小的层数表示表面。
注意
切割平面即本例中的（100）面总是跨越两个第一原胞矢量和 ${\bf B}$。在“electrode”模式下，平面的法线与第三原胞矢量 ${\bf C}$ 重合，但在“bulk-like”模式下则不同。在 QuantumATK 中，复数能带始终沿第三倒易矢量 ${\bf g}_C$ 计算得到，其显然平行于 ${\bf A} \times {\bf B}$。因此使用当前结构您将获得沿（100）面的复数能带结构。
复数能带的计算
点击 Builder 右下角的 
按钮将结构发送到 Script Generator 
，执行以下步骤。
- 添加一个
New Calculator 模块。 - 添加
Analysis 
ComplexBandStructure 模块。 - 更改默认输出文件名为
si_100_cbs.nc。
接下来，打开嵌入的 
New Calculator 模块（双击），设置一个紧束缚计算。
- 选择 ATK-SE: Extended Hückel 计算器。
- 设置 k 点取样为 5×5×5。
- 在 Huckel 基组下，选择 Cerda.Silicon [diamond GW] basis set。该基组已由 GW 计算拟合，可以对能带结构给出一个很好的描述，包括带隙大小。
- 点击 OK 关闭对话框。
下一步，打开 
ComplexBandstructure 分析模块，然后编辑：
- 设置 energy range 为 -15 到 10 eV，之间 501 个点。