使用 QuantumATK 研究能带结构和态密度

能带和态密度是块体材料电子态的基本属性，也是最常用的计算之一，对了解材料的特性非常重要。QuantumATK支持多种计算：

• 能带（BandStructure）
• 态密度（DensityOfStates）
• 投影能带（FatBandStructure）
• 投影态密度（ProjectedDensityOfStates）

QuantumATK支持将能带和态密度进行复杂的投影计算和交互式分析，使用方便。用户可以使用图形界面直接将能带和DOS投影到：

• 每种元素
• 每种元素的壳层、轨道
• 每个原子
• 自旋分量（Up/Down，x/y/z）
• 用户指定的原子组合（任意原子标签Tag）

• 能带、态密度、投影能带和投影态密度快速视频演示
• 全屏播放更清晰

• 构建好材料结构模型后，点击右下角“箭头”图标发送至Script Generator；
• 添加New Calculator，设置合适的计算方法；
• 添加Analysis – Band Structure，修改合适的高对称点路径、每段能带的点数、费米面以上的能带数；
• 添加Analysis – DensityOfStates，设置较多的k点；
• 添加Analysis – Fat Bandstructure，可以计算投影能带；
  • 打开FatBandStructure，选择Projection on “Element” 或者 “Element and Shell” 或“Element and orbital”；
  • 其他设置与能带计算计算类似；
• 添加Analysis – ProjectedDensityOfStates，可以计算投影态密度；
  • 打开ProjectedDensityOfStates，选择Projection on “Element” 或者 “Element and Shell” 或“Element and orbital”；
  • 其他设置与态密度计算计算类似；

将脚本发送到 Job Manager 执行，稍等片刻即可在主窗口中的LabFloor中看到计算结果（选定输出的hdf5文件）。

VNL中默认的高对称点的标志依赖于晶格的布拉维格子种类，在Builder中

• 可以通过Crystal Symmetry Info查看体系的对称性；
• 使用 Brillouin Zone Viewer 查看这些高对称点在布里渊区里的位置；
• 如果发现体系的格子属性不对，导致无法设置需要的高对称点，则可以在Lattice Parameters…里调整格子，也有可能需要重新优化结构；

QuantumATK计算中还支持用户自定义任意布里渊区路径，这通过kpoints参数实现（见下面脚本）。需要注意以下两点：

• 使用kpoints，必须删去route和points_per_segment；
• kpoints不能只定义线段两端，而必须逐点定义所有线段上的点。

# -------------------------------------------------------------
# Bandstructure
# -------------------------------------------------------------
bandstructure = Bandstructure(
    configuration=bulk_configuration,
    kpoints=[[0.0,0.0,0.0],[0.0,0.0,0.1],[0.0,0.0,0.2],[0.0,0.0,0.3],[0.0,0.0,0.4],[0.0,0.0,0.5]],
    bands_above_fermi_level=All
    )

使用这种方法计算得到的能带，需要用户自己标记路径。

NanoLab 提供了方便的能带分析工具（主窗口右侧Band Structure Analyzer），用户可以：

• 直接作图、查看能带结构；
• 在能带上进行交互式测量；
• 自定义坐标轴、标签、标题、线型、粗细、颜色、字号等所有的图像特性；
• 在图像上添加箭头和文字标记；
• 直接给出直接和间接带隙；
• 导出高质量的pdf、png、eps等图像格式；
• 导出原始数据进行分析和作图。

在投影能带（FatBandStructure）的计算结果分析（主窗口右侧 Fat Band Structure Analyzer）中，用户可以：

• 方便的选择要显示的投影能带和颜色。
• 选择投影的显示方式：带权重的线、圆点、带权重的圆点
• 与能带类似自定义图像特性。

• 使用DOS Analyzer可以直接查看态密度计算结果。即使不进行高级的投影能带计算，仅就DOS结果也可以进行简单的投影分析。
• 我们推荐2017版开始提供的全功能PDOS分析计算工具，功能更全面、使用更便捷、作图更精美。详见视频演示和下文介绍。

从2017版开始，QuantumATK开始支持全功能的态密度投影（ProjectedDensityOfStates）。与能带投影一样用户可以使用便捷的图形界面直接将 DOS 投影到：

• 每种元素
• 每种元素的壳层、轨道
• 每个原子
• 自旋分量（Up/Down，x/y/z）
• 用户指定的原子组合（任意原子标签Tag）

在计算结果中，用户可以方便的选择要显示的方式。显示方法则有三种模式：线状图（Line）、堆积图（Stack）、填充图（Fill）。

QuantumATK 的图形界面很方便的将能带（或投影能带）和投影态密度态密度进行组合作图，同步的进行交互式分析。同时打开能带和投影态密度的显示窗口，拖动投影态密度窗口右下角的图标，将其放置在能带（或投影能带）上，选择“BS/DOS”作图即可。

QuantumATK支持直接导出png、jpg、eps、pdf等多种图像格式文件，也可以直接查看原始数据文本。

• 使用plt脚本可以进一步调整作图效果，详见：plt 作图脚本与应用实践。

投影能带（projected band structure）又称为 fat band structure，是一种可视化不同的轨道对能带的贡献的方法，该方法的原理是计算每个本征值对给定投影子空间的权重。计算方法如下：本征态和本征值由通常的能带方法求得，即求解如下的本征方程： $$ H \psi_{n {\bf k}} = E \psi_{n {\bf k}}。 $$

接下来定义在子空间 $M$ 上的投影算符 ${\hat{\bf P}_M}$，得到$(E_{n {\bf k}}, \psi_{n {\bf k}})$ 的权重 $\omega^{M}_{n {\bf k}}$ 为

$$ \omega^{M}_{n {\bf k}} = \langle \psi_{n {\bf k}} | \hat{\bf P}_M | \psi_{n {\bf k}} \rangle $$

该权重满足波函数 $\psi_{n {\bf k}}$ 的归一化条件。

投影态密度是一种可视化不同的轨道对态密度贡献的方法。由态密度的定义： $$ D(\epsilon) = \sum_{n} \delta \left(\epsilon - \epsilon _{n} \right) $$

可以使用在子空间 $M$ 上的投影算符 ${\hat{\bf P}_M}$ 得到投影态密度为

$$ D _{M}(\epsilon) = \sum_{n} \delta \left(\epsilon - \epsilon _{n} \right) \langle \psi_{n} | \hat{\bf P}_M | \psi_{n } \rangle$$

$\psi_{n}$ 为波函数。

• 实例教程：计算晶体能带
• 关键词：FatBandStructure、ProjectedDensityOfStates
• 投影算符的定义：Projection、ProjectionGenerator