版本：2015.1

随机合金正在成为学术上非常重要的材料。例如，SiGe 是最著名的热电材料之一，InGaAs 则是未来 CMOS（互补金属氧化物半导体）器件中替代或补充硅的主要候选材料。热电元件和晶体管器件的模拟通常都涉及到能带结构参数，如带隙和有效质量。

在本教程中，您将了解如何设置一个随机合金的结构并计算所谓的有效能带结构。本教程将聚焦于 In_0.53Ga_0.47As，并采用 MGGA 交换关联函数进行 DFT 计算以获得精确的带隙。

在计算有效能带结构时，人们会考虑用一个包含许多原子的较大超胞。本例中，我们采用 3×3×3 的原始 FCC 晶胞，包含 64 个原子。我们以 InAs 为 In_0.53Ga_0.47As 的初始模型，将其中一些铟原子由镓原子随机取代。在所有的计算中，In/Ga 的比率固定保持在 0.53/0.47。

包含超过 500 条电子能带的超胞的能带结构中，我们可以“展开”能带结构使其仅包含那些对应于初始晶胞的能带。在展开过程中，可以计算光谱权重 $\mid \langle e^{ i \bf{k} \cdot \bf{r}} \mid \psi_{j,K} \rangle \mid$，其中 $\mid \psi_{j,K} \rangle$ 为超胞在 k 点 $K$ 处的本征态。如果超胞只是单纯性单胞的简单复制（如 InAs 的超胞），光谱权重为 0 或 1，能带展开可以明确完成。然而，在无序合金的情况下，如 In_0.53Ga_0.47As，能带权重可以是 0 和 1 之间的任意实数。

您将采用初始（1x1x1）晶胞首先计算 InAs 的正常能带结构。然后创建一个 3x3x3 的 InAs 构型，您将展示该重复超胞的有效带结构复制初始晶胞的有效带结构。

• 打开 Builder ，完成以下步骤：
  • 采用 Add From Database 工具创建 InAs 块体构型。
  • 采用 Bulk Tools Lattice Parameters 工具更改晶格常数到室温值：
    • 选择保持 fractional；
    • 输入 a = 6.058 Å。
  • 点击 OK，发送构型到 Scripter 。

• 在 Scripter 里添加一个 New Calculator 模块。然后打开并编辑：
  • 选择 ATK-DFT 计算器。
  • 采用 MGGA 交换关联势。
  • 设置 k 点网格取样为 9×9×9。
  • 使用 SingleZetaPolarized 基组加速计算。

• 下一步，添加 Analysis Bandstructure 模块。打开并设置布里渊区路径为“L, G, X”。
• 更改默认输出文件名称为 InAs_1×1×1.nc。
• 为了指定 MGGA c 参数，将脚本传送到 Editor 。定位到这一行

exchange_correlation = MGGA.TB09LDA

并更改为

exchange_correlation = MGGA.TB09LDA(c=0.91)

• 采用 Job Manager 或在终端运行计算。大约需要 8 分钟完成模拟。

• 返回到 Builder ，利用 Bulk Tools Repeat 工具给 1×1×1 的 InAs 构型在每个方向都扩大至 3 倍。

• 发送扩胞后的构型到 Scripter ，然后重复上面提到的步骤设置脚本，但是要做一下更改：
  • 计算器的 k 点取样应为 3×3×3。
  • 默认输出文件名称更改为 InAs_3×3×3.nc。
• 再次使用 Editor 明确地设置 MGGA c参数，然后运行计算。

1×1×1（左图）和 3×3×3（右图）InAs 构型的能带结构如下所示。3x3x3 的能带结构在区域边界处折叠，使得难以定位与 1x1x1 构型的 X 和 L 波谷最小值处相对应的波谷。

打开 Scripter 窗口，按照以下步骤：

• 从 File 模块添加 Analysis 并打开，选择已存在的 NetCDF 文件 InAs_3×3×3.nc。
• 继续添加 Analysis EffectiveBandstructure 模块。它显示被横线划过，表明该模块需要进一步编辑。

• 打开 EffectiveBandstructure 模块，开始编辑。
• 从 Builder 或 LabFloor 中选择 1×1×1 InAs 构型，将其拖拽到名为“Primitive configuration”的黑色区域。
• 应用以下设置：
  • Points pr. Segment：101
  • Brillouin zone route：L, G, X
  • E0：-2.0 eV
  • E1：2.75 eV
  • Points：501

脚本至此已完成，保存并运行计算。在笔记本上大约需要 3 分钟完成。

• EffectiveBandstructure 数据块现在会出现在 LabFloor。它表示为：

• 选择数据块，然后利用 Effective Bandstructure Analyzer 插件将其可视化。对比图片（下图）和如上所示的正常 1×1×1 InAs 的能带结构。

分析工具显示了 k,E(k) 平面的带密度图。每个能带都将在带密度上增加 0 到 1 之间的权重。在 $\Gamma$ 点有三个简并价带，带密度变为 3（上图中为亮黄色）。导带的权重为 1。

为了查看所有权重接近 0 的能带，您可以在对数尺度下绘制能带密度。在图上单击鼠标右键，然后在菜单底部选择 Log scale，制得的图如下左图所示。很多能带都是红色的。通过检查颜色条，您会注意到这些条带的权重大约为10^-9，这基本上只是数字噪声。可以尝试调整“Data range”（右上角）并将最小值设置为 -6。“噪声能带”现在已经消失了，如下右图所示。

您现在将设置一个随机合金 In_0.53Ga_0.47As 的结构并计算它的有效能带结构。我们还应该考虑样本平均有效能带结构，分析有限能带增宽的结果。

打开 Builder ，创建合金构型：

• 添加一个 InAs 构型，更改晶格常数为 5.8687 Å，也就是 In_0.53Ga_0.47As 的实验值。
• 右击新的 Stash 区结构，然后复制它（稍后您将需要该副本用于有效能带结构）。
• 在各个方向将 InAs 构型扩大至 3 倍。
• 下一步，使用 Select By Element 工具，打开 Builder Substitutional Alloy 插件计算所有的铟原子。作如下设置：
  • Algorithm：Fixed fraction
  • New element：Ga
  • Percentage：47%

• 然后点击 Create。

在新构型中，大约有 47％ 的铟原子被镓原子随机取代。将此 In_0.53Ga_0.47As 随机合金构型发送到 Script Generator 。

• 添加一个 New Calculator 模块，使用与 InAs 相同的设置：
  • MGGA 交换关联。
  • 3×3×3 k 点取样。
  • SingleZetaPolarized 基组。
• 添加 Analysis ‣ EffectiveBandstructure 模块，打开编辑。
• 将复制的晶格常数为 5.8687 Å 的 1×1×1 InAs 构型从 Builder 拖拽到黑色区域。
• 应用以下设置：
  • Points pr. Segment：101
  • Brillouin zone route：L, G, X
  • E0：-2 eV
  • E1：2.75 eV
  • Points：501
• 将脚本转移到 Editor ，添加 MGGA c 参数。对于具有 SingleZetaPolarized 基组的 In_0.53Ga_0.47As，您应该采用 c = 1.01 以接近实验带隙 0.74 eV。
• 利用 Job Manager 或终端运行计算。大约需要 10 分钟完成作业。

使用 Effective Bandstructure Analyzer 研究计算的有效带结构。它应该类似于左下图。能带的加权将不再是 0 或 1，而是介于两者之间。特别是在 L- 点和 X- 点导带最小值附近，与可见的 InAs 的简单能带结构存在明显的偏差。尝试调整数据范围并将最大值设置为0.5。然后如下右图所示，一些能带变得更加明显。在 $\Gamma$- 点附近，价带和导带都是明确定义的，随机无序的影响似乎相当有限。