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半导体能带中的自旋轨道耦合劈裂

自旋轨道耦合(SOC)是导致许多材料(包括半导体)中电子能带劈裂的一个相对论效应。在标准的计算中并不包含这个效应。

在本实例中,你将学到如何为半导体在密度泛函理论计算(ATK-DFT)和半经验Slater-Koster(ATK-SE)计算中考虑自旋轨道耦合。

概要

Kohn-Sham DFT中的相对论效应

标准的含时Kohn-Sham哈密顿量描述了非相对论电子在原子核设立的外场中的运动(和任何其它可能的外界含时场)。相对论效应由此被完全忽略。对于原子核外部的价电子来说这通常是一个很好的近似,但是对于重元素如金和铅,相对论对电子结构的贡献可以是至关重要的。此外,自旋轨道耦合并不能在一个严格的非相对论描述中被捕获,而它往往打破固体能带色散的简并,从而导致实验所观察到的能带劈裂。

电子结构软件使用赝势(正如ATK-DFT引擎所做),通常使用标量相对论赝势将相对论效应以一个合适的方法并入芯核电子。这是一个计算高效和非常可靠的近似。

然而,包含自旋轨道耦合的计算需要全相对论赝势和对原子自旋自由度的一个非共线表象。这会很占用计算资源,但是如果要完全考虑电子基态的相对论效应就必须这样做。

使用ATK-DFT计算硅能带劈裂

现在你将使用ATK-DFT来计算包含和不包含自旋轨道耦合的LDA硅能带结构。

注意!

自旋轨道DFT计算相比标准的LDA或GGA方法更耗时,并且往往需要更多的SCF迭代来达到收敛。通常,先做一个自旋极化的基态计算是更高效的,然后使用这个态作为自旋轨道DFT计算的一个初始猜测。这个步骤减少了自旋轨道SCF步数并显著减少了总的计算时间。

警告!

不是所有的赝势都可以被用来进行自旋轨道DFT计算。QuantumATK提供的OMX赝势包含所需的SO项,而FHI赝势并不包含。

提示!

请记住OMX赝势总的来说相比于FHI赝势在芯核中含有更多的价电子。所以,OMX赝势通常需要好的基组和更高的密度网格截断能(比如200 Hartree)。

基态的LSDA初始猜测

双击第一个New Calculator模块,并对其进行如下设置:

双击第一个Initial State模块,,并为硅晶体的自旋极化设置一个初始猜测:

注意!

这为硅极化定义了一个非零的初始猜测,即使我们知道硅不是磁性的。的确,我们将会发现它不是磁性的,因为自洽极化将会关闭为零。然而,一个自洽LSDA计算通常是对于非共线计算的一个好的开始点,不论是包含自旋轨道耦合还是不包含自旋轨道耦合。

编辑第一个 Bandstructure 模块,使其沿着$L-\Gamma-X$路径每段取50个点,并在 lsda.nc 文件中保存数据:

加上之后的band structure analysis,这部分完全定义了LSDA基态计算。

SOLDA计算

接下来,你将为SOLDA计算设置一个类似的工作流程,但使用LSDA基态作为SOLDA基态的初始猜测。

提示!

记得同样选择正确的基组和赝势。

警告!

如果你使用一个非极化计算作为自旋轨道耦合计算的初始态,你需要设置初始自旋为零。

ATK-DFT脚本现已完成。也可以在此下载:lda.py

将脚本送至 Job Manager ,保存为 lda.py,并在你的local machine上串行运行。这将花费仅仅几分钟时间完成。

在运行过程中你可以监测任务的进程:

结果

当结果在LabFloor上出现时,高亮两个能带对象并使用Compare Data工具在同一个图中对LSDA和SO+LDA能带结构进行可视化:

图55 硅的LSDA(蓝)和SOLDA(绿) 能带结构比较。

可以做出以下几个观察:

• 与预期一样,LSDA自旋向上和自旋向下能带是一样的(蓝线)。

• 第一眼看上去,SO+LDA和LSDA能带似乎别无二致。特别是,它们都具有一个0.5eV左右的间接带隙。

• 然而,如果你在$\Gamma$点最高价带附近放大(如下图),SO耦合使简并能带劈裂并在一定程度上提升了它们:

图56 使用LSDA(蓝)和SOLDA(绿)计算的硅价带顶$\Gamma$点。后者导致能带显著的自旋轨道劈裂,并预测了一个44meV的分裂能。

SO+MGGA带隙

上面使用SO+LDA方法得到的能带劈裂与实验劈裂吻合的非常好(42.6 meV [dYHS89])。然而,带隙小于实验值的一半(1.12eV)。

使用TB09LDA方法可以对此进行很大程度地纠正,它使用一个metaGGA交换关联势并给出非常准确的半导体带隙[dTB09]。所以我们应该期望SO+MGGA方法可以准确预测能带劈裂和带隙。

提示!

对于小的块体系统,通过增加迭代控制参数设置中的 damping factor为0.5可以加速scf收敛。

图57 硅的SOLDA和SOMGGA能带结构比较。SOMGGA间接带隙1.3Ev与实验值接近。

结果

再次使用Compare Data plugin,你现在可以将SO+LDA能带结构和SO+MGGA的进行比较。

在上图中很明显SO+MGGA增加了价带与导带的距离。试着使用Bandstructure Analyzer工具来测量SO+MGGA间接带隙。您会发现它约为1.3 eV。

下图放大了劈裂的价带。除了一个竖直的移动,它们相比SO+LDA的结果变化不大。

图58 放大劈裂的价带

使用ATK-SE和SO耦合计算GaAs能带结构

ATK-SE引擎作为一个参数化的DFT可供替代的选择,提供了对于电子结构计算的紧束缚模型。Slater-Koster(SK)模型就是一个这样的方法,并通过一个特别的SOC参数包含了自旋轨道耦合,在ATK-SE引擎中被执行。 使用Builder来创建具有实验晶格参数的GaAs块体构型,并使用Scripter 来设置Slater-Koster计算:

图59 GaAs的Slater-Koster自旋轨道能带结构。

参考文献

[dTB09] F. Tran and P. Blaha. Accurate band gaps of semiconductors and insulators with a semilocal exchange-correlation potential. Phys. Rev. Lett., 102:226401, 2009. doi:10.1103/PhysRevLett.102.226401.

[dYHS89] (1, 2) Zhiyi Yu, YX Huang, and SC Shen. Spin-orbit splitting of the valence bands in silicon determined by means of high-resolution photoconductive spectroscopy. Physical Review B, 39(9):6287, 1989.

本文翻译:王吉章